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新唐书

历四上

新唐书·志·卷十八

  历四上

  《开元大衍历》演纪上元阏逢困敦之岁,距开元十二年甲子,积九千六百九十 六万一千七百四十算。

  ○一曰步中朔术

  通法三千四十。

  策实百一十一万三百四十三。

  揲法八万九千七百七十三。

  减法九万一千二百。

  策余万五千九百四十三。

  用差万七千一百二十四。

  挂限八万七千一十八。

  三元之策十五,余六百六十四,秒七。

  四象之策二十九,余千六百一十三。

  中盈分千三百二十八,秒十四。

  朔虚分千四百二十七。

  爻数六十。

  象统二十四。

  以策实乘积算,曰中积分。盈通法得一,为积日。爻数去之,余起甲子算外, 得天正中气。凡分为小余,日为大余。加三元之策,得次气。凡率相因加者,下有 余秒,皆以类相从。而满法迭进,用加上位。日盈爻数去之。

  以揲法去中积分,不尽曰归余之挂。以减中积分,为朔积分。如通法为日,去 命如前,得天正经朔。加一象之日七、余千一百六十三少,得上弦。倍之,得望。 参之,得下弦。四之,是谓一揲,得后月朔。凡四分,一为少,三为太。综中盈、 朔虚分,累益归余之挂,每其月闰衰。凡归余之挂五万六千七百六十以上,其岁有 闰。因考其闰衰,满挂限以上,其月合置闰。或以进退,皆以定朔无中气裁焉。

  凡常气小余不满通法、如中盈分之半已下者,以象统乘之,内秒分,参而伍之, 以减策实;不尽,如策余为日。命常气初日算外,得没日。凡经朔小余不满朔虚分 者,以小余减通法,余倍参伍乘之,用减灭法;不尽,如朔虚分为日。命经朔初日 算外,得灭日。

  ○二曰发敛术

  天中之策五,余二百二十一,秒三十一;秒法七十二。

  地中之策六,余二百六十五,秒八十六;秒法百二十。

  贞悔之策三,余百三十二,秒百三。

  辰法七百六十。

  刻法三百四。

  各因中节命之,得初候。加天中之策,得次候。又加,得末候。因中气命之, 得公卦用事。以地中之策累加之,得次卦,若以贞悔之策加侯卦,得十有二节之初 外卦用事。因四立命之,得春木、夏火、秋金、冬水用事。以贞悔之策减季月中气, 得土王用事。凡相加减而秒母不齐,当令母互乘子,乃加减之;母相乘为法。

  各以能法约其月闰衰,为日,得中气去经朔日算。求卦、候者,各以天、地之 策,累加减之。凡发敛加时,各置其小余,以六爻乘之,如辰法而一,为半辰之数。 不尽者,三约为分。分满刻法为刻。若令满象积为刻者,即置不尽之数,十之,十 九而一,为分。命辰起子半算外。

  ○三曰步日躔术

  干实百一十一万三百七十九太。

  周天度三百六十五,虚分七百七十九太。

  岁差三十六太。

  以盈缩分盈减、缩加三元之策,为定气所有日及余。乃十二乘日,又三其小余, 辰法约而一,从之,为定气辰数。不尽,十之,又约为分。以所入气并后气盈缩分, 倍六爻乘之,综两气辰数除之,为末率。又列二气盈缩分,皆倍六爻乘之,各如辰 数而一;以少减多,余为气差。至后以差加末率,分后以差减末率,为初率。倍气 差,亦倍六爻乘之,复综两气辰数除,为日差。半之,以加减初末,各为定率。以 日差至后以减、分后以加气初定率,为每日盈缩分。乃驯积之,随所入气日加、减 气下先、后数,各其日定数。其求朓朒仿此。冬至后为阳复,在盈加之,在缩减之; 夏至后为阴复,在缩加之,在盈减之。距四正前一气,在阴阳变革之际,不可相并, 皆因前末为初率。以气差至前加之,分前减之,为末率。余依前术,各得所求。其 分不满全数,母又每气不同,当退法除之。以百为母,半已上,收成一。冬至、夏 至偕得天地之中,无有盈、缩。余各以气下先后数先减、后加常气小余,满若不足, 进退其日,得定大小余。凡推日月度及轨漏、交蚀,依定气;注历,依常气。以减 经朔、弦、望,各其所入日算。若大余不足减,加爻数,乃减之。减所入定气日算 一,各以日差乘而半之;前少以加、前多以减气初定率,以乘其所入定气日算及余 秒。凡除者,先以母通全,内子,乃相乘;母相乘除之。所得以损益朓朒积,各其 入朓朒定数。若非朔、望有交者,以十二乘所入日算;三其小余,辰法除而从之; 以乘损益率,如定气辰数而一。所得以损益朓朒积,各为定数。

  南斗二十六,牛八,婺女十二,虚十,虚分七百七十九太。危十七,营室十六, 东壁九,奎十六,娄十二,胃十四,昴十一,毕十七,觜觿一,参十,东井三十三, 舆鬼三,柳十五,七星七,张十八,翼十八,轸十七,角十二,亢九,氐十五,房 五,心五,尾十八,箕十一,为赤道度。其毕、觜觿、参、舆鬼四宿度数,与古不 同,依天以仪测定,用为常数。纮带天中,仪极攸凭,以格黄道。

  推冬至岁差所在,每距冬至前后各五度为限,初数十二,每限减一,尽九限, 数终于四。当二立之际,一度少强,依平。乃距春分前、秋分后,初限起四,每限 增一,尽九限,终于十二,而黄道交复。计春分后、秋分前,亦五度为限。初数十 二,尽九限,数终于四。当二立之际,一度少强,依平。乃距夏至前后,初限起四, 尽九限,终于十二。皆累裁之,以数乘限度,百二十而一,得度;不满者,十二除, 为分。若以十除,则大分,十二为母,命太、半、少及强、弱。命曰黄、赤道差数。 二至前、后各九限,以差减赤道度,二分前、后各九限,以差加赤道度,各为黄道 度。

  开元十二年,南斗二十三半,牛七半,婺女十一少,虚十,六虚之差十九太。 危十七太,营室十七少,东壁九太,奎十七半,娄十二太,胃十四太,昴十一,毕 十六少,觜觿一,参九少,东井三十,舆鬼二太,柳十四少,七星六太,张十八太, 翼十九少,轸十八太,角十三,亢九半,氐十五太,房五,心四太,尾十七,箕十 少,为黄道度,以步日行。日与五星出入,循此。求此宿度,皆有余分,前后辈之 成少、半、太,准为全度。若上考往古,下验将来,当据岁差,每移一度,各依术 算,使得当时度分,然后可以步三辰矣。

  以乾实去中积分,不尽者,盈通法为度。命起赤道虚九,宿次去之,经虚去分, 至不满宿算外,得冬至加时日度。以三元之策累加之,得次气加时日度。

  以度余减通法,余以冬至日躔距度所入限数乘之,为距前分。置距度下黄、赤 道差,以通法乘之,减去距前分,余满百二十除,为定差。不满者,以象统乘之, 复除,为秒分。乃以定差减赤道宿度,得冬至加时黄道日度。

  又置岁差,以限数乘之,满百二十除,为秒分。不尽为小分。以加三元之策, 因累裁之。命以黄道宿次,各得定气加时日度。

  置其气定小余,副之。以乘其日盈、缩分,满通法而一,盈加、缩减其副。用 减其日加时度余,得其夜半日度。因累加一策,以其日盈、缩分盈加、缩减度余, 得每日夜半日度。

  ○四曰步月离术

  转终六百七十万一千二百七十九。

  转终日二十七,余千六百八十五,秒七十九。

  转法七十六。

  转秒法八十。

  以秒法乘朔积分,盈转终去之;余复以秒法约,为入转分;满通法,为日。命 日算外,得天正经朔加时所入。因加转差日一、余二千九百六十七、秒一,得次朔。 以一象之策,循变相加,得弦、望。盈转终日及余秒者,去之。各以经朔、弦、望 小余减之,得其日夜半所入。

  各置朔、弦、望所入转日损益率,并后率而半之,为通率。又二率相减,为率 差。前多者,以入余减通法,余乘率差,盈通法得一,并率差而半之;前少者,半 入余,乘率差,亦以通法除之:为加时转率。乃半之,以损益加时所入,余为转余。 其转余,应益者,减法;应损者,因余。皆以乘率差,盈通法得一,加于通率,转 率乘之,通法约之,以朓减、朒加转率,为定率。乃以定率损益朓肉积,为定数。 其后无同率者,亦因前率。应益者,以通率为初数,半率差而减之;应损者,即为 通率。其损益入余进退日,分为二日,随余初末,如法求之,所得并以损益转率。 此术本出《皇极历》,以究算术之微变。若非朔、望有交者,直以入余乘损益率, 如通法而一,以损益朓朒,为定数。

  七日、初数二千七百一,末数三百三十九。十四日、初数二千三百六十三,末 数六百七十七。二十一日、初数二千二十四,末数千一十六。二十八日,初数千六 百八十六,末数千三百五十四。以四象约转终,均得六日二千七百一分。就全数约 为九分日之八。各以减法,余为末数。乃四象驯变相加,各其所当之日初、末数也。 视入转余,如初数已下者,加减损益,因循前率;如初数以上,则反其衰,归于后 率云。

  各置朔、弦、望大小余,以入气、入转朓朒定数,朓减、朒加之,为定朔、弦、 望大小余。定朔日名与后朔同者,月大;不同者,小;无中气者,为闰月。凡言夜 半,皆起晨前子正之中。若注历,观弦、望定小余,不盈晨初余数者,退一日。其 望有交、起亏在晨初已前者,亦如之。又月行九道迟疾,则有三大二小以日行盈、 缩累增、损之,则容有四大三小,理数然也。若俯循常仪,当察加时早晚,随其所 近而进退之,使不过三大二小。其正月朔有交、加时正见者,消息前后一两月,以 定大小,令亏在晦、二。定朔、弦、望夜半日度,各随所直日度及余分命之。乃列 定朔、弦、望小余,副之。以乘其日盈、缩分,如通法而一,盈加、缩减其副。以 加夜半日度,各得加时日度。

  凡合朔所交,冬在阴历、夏在阳历,月行青道;冬至、夏至后,青道半交在春 分之宿,当黄道东。立冬、立夏后,青道半交在立春之宿,当黄道东南。至所冲之 宿,亦如之。冬在阳历、夏在阴历,月行白道;冬至、夏至后,白道半交在秋分之 宿,当黄道西。立冬、立夏后,白道半交在立秋之宿,当黄道西北。至所冲之宿, 亦如之。春在阳历、秋在阴历,月行硃道;春分、秋分后,硃道半交在夏至之宿, 当黄道南。立春、立秋后,硃道半交在立夏之宿,当黄道西南。至所冲之宿,亦如 之。春在阴历,秋在阳历,月行黑道。春分、秋分后,黑道半交在冬至之宿,当黄 道北,立春、立秋后,黑道半交在立冬之宿,当黄道东北。至所冲之宿,亦如之。 四序离为八节,至阴阳之所交,皆与黄道相会,故月有九行。各视月交所入七十二 候距交初中黄道日度,每五度为限,亦初数十二,每限减一,数终于四、乃一度强, 依平。更从四起,每限增一,终于十二,而至半交,其去黄道六度。又自十二,每 限减一,数终于四,亦一度强,依平。更从四起,每限增一,终于十二,复与日轨 相会。各累计其数,以乘限度,二百四十而一,得度。不满者,二十四除,为分, 若以二十除之,则大分,以十二为母。为月行与黄道差数。距半交前后各九限,以 差数为减;距正交前后各九限,以差数为加。此加减出入六度,单与黄道相较之数。 若较之赤道,则随气迁变不常。计去冬至、夏至以来候数,乘黄道所差,十八而一, 为月行与赤道差数。凡日以赤道内为阴,外为阳;月以黄道内为阴,外为阳。故月 行宿度,入春分交后行阴历、秋分交后行阳历,皆为同名。若入春分交后行阳历、 秋分交后行阴历,皆为异名。其在同名,以差数为加者加之,减者减之;若在异名, 以差数为加者减之,减者加之。皆以增损黄道度,为九道定度。

  各以中气去经朔日算,加其入交泛,乃以减交终,得平交入中气日算。满三元 之策去之,余得入后节日算。因求次交者,以交终加之,满三元之策去之,得后平 交入气日算。

  各以气初先后数先加、后减之,得平交入定气日算。倍六爻乘之,三其小余, 辰法除而从之,以乘其气损益率,如定气辰数而一,所得以损益其气朓朒积,为定 数。

  又置平交所入定气余,加其日夜半入转余,以乘其日损益率,满通法而一,以 损益其日朓朒积,交率乘之,交数而一,为定数。乃以入气入转朓朒定数,朓减、 朒加平交入气余,满若不足,进退日算,为正交入定气日算。其入定气余,副之, 乘其日盈缩分,满通法而一,以盈加、缩减其副,以加其日夜半日度,得正交加时 黄道日度。以正交加时度余减通法,余以正交之宿距度所入限数乘之,为距前分。 置距度下月道与黄道差,以通法乘之,减去距前分,余满二百四十除,为定差;不 满者一退为秒。以定差及秒加黄道度、余,仍计去冬至、夏至已来候数乘定差,十 八而一,所得依名同异而加减之,满若不足,进退其度,得正交加时月离九道宿度。

  各置定朔、弦、望加时日度,从九道循次相加。凡合朔加时,月行潜在日下, 与太阳同度,是谓离象。先置朔、弦、望加时黄道日度,以正交加时所在黄道宿度 减之,余以加其正交九道宿度,命起正交宿度算外,即朔、弦、望加时所当九道宿 度也。其合朔加时,若非正交,则日在黄道,月在九道,各入宿度虽多少不同,考 其去极,若应绳准。故云:月行潜在日下,与太阳同度。以一象之度九十一、余九 百五十四、秒二十二半为上弦,兑象。倍之,而与日冲,得望,坎象。参之,得下 弦,震象。各以加其所当九道宿度,秒盈象统从余,余满通法从度,得其日加时月 度。综五位成数四十,以约度余,为分;不尽者,因为小分。

  视经朔夜半入转,若定朔大余有进退者,亦加、减转日。否则因经朔为定。累 加一日,得次日,各以夜半入转余乘列衰,如通法而一,所得以进加、退减其日转 分,为月转定分。满转法,为度。

  视定朔、弦、望夜半入转,各半列衰以减转分。退者,定余乘衰,以通法除, 并衰而半之;进者,半余乘衰,亦以通法除:皆加所减。乃以定余乘之,盈通法得 一,以减加时月度,为夜半月度。各以每日转定分累加之,得次日。若以入转定分, 乘其日夜漏,倍百刻除,为晨分。以减转定分,余为昏分。望前以昏、望后以晨加 夜半度,各得晨、昏月。

  各视每日夜半入阴阳历交日数,以其下屈伸积,月道与黄道同名者,加之;异 名者,减之。各以加、减每日辰昏黄道月度,为入宿定度及分。

  ○五曰步轨漏术

  爻统千五百二十。

  象积四百八十。

  辰八刻百六十分。

  昏、明二刻二百四十分。

  各置其气消息衰,依定气所有日,每以陟降率陟减、降加其分,满百从衰,各 得每日消息定衰。其距二分前后各一气之外,陟、降不等,皆以三日为限。雨水初 日,降七十八;初限,日损十二;次限,日损八;次限,日损三;次限,日损二; 次限,日损后。清明初日,陟一;初限,日益一;次限,日益二;次限,日益三; 次限,日益八;末限,日益十九。处暑初日,降九十九;初限,日损十九;次限, 日损八;次限,日损三;次限,日损二;末限,日损一。寒露初日,陟一;初限, 日益一;次限,日益二;次限,日益三;次限,日益八;末限,日益十二。各置初 日陟降率,依限次损益之,为每日率。乃递以陟减、降加气初消息衰,各得每日定 衰。

  南方戴日之下,正中无晷。自戴日之北一度,乃初数千三百七十九。自此起差, 每度增一,终于二十五度,计增二十六分。又每度增二,终于四十度。又每度增六, 终于四十四度,增六十八。又每度增二,终于五十度。又每度增七,终于五十五度。 又每度增十九,终于六十度,增百六十。又每度增三十三,终于六十五度。又每度 增三十六,终于七十度。又每度增三十九,终于七十二度,增二百六十。又度增四 百四十。又度增千六十。又度增千八百六十。又度增二千八百四十。又度增四千。 又度增五千三百四十。各为每度差。因累其差,以递加初数,满百为分,分十为寸, 各为每度晷差。又累其晷差,得戴日之北每度晷数。

  各置其气去极度,以极去戴日度五十六及分八十二半减之,得戴日之北度数。 各以其消息定衰所直度之晷差,满百为分,分十为寸,得每日晷差。乃递以息减、 消加其气初晷数,得每日中晷常数。

  以其日处在气定小余,爻统减之,余为中后分。不足减,反相减,为中前分。 以其晷差乘之,如通法而一,为变差。以加、减中晷常数,冬至后,中前以差减, 中后以差加;夏至后,中前以差加,中后以差减。冬至一日,有减无加;夏至一日, 有加无减。得每日中晷定数。

  又置消息定衰,满象积为刻,不满为分。各递以息减、消加其气初夜半漏,得 每日夜半漏定数。其全刻,以九千一百二十乘之,十九乘刻分从之,如三百而一, 为晨初余数。

  各倍夜半漏,为夜刻。以减百刻,余为昼刻。减昼五刻以加夜,即昼为见刻, 夜为没刻。半没刻加半辰,起子初算外,得日出辰刻。以见刻加而命之,得日入。 置夜刻,五而一,得每更差刻。又五除之,得每筹差刻。以昏刻加日入辰刻,得甲 夜初刻。又以更筹差加之,得五夜更筹所当辰。其夜半定漏,亦名晨初夜刻。

  又置消息定衰,满百为度,不满为分。各递以息减、消加气初去极度,各得每 日去极定数。

  又置消息定衰,以万二千三百八十六乘之,如万六千二百七十七而一,为度差。 差满百为度。各递以息加、消减其气初距中度,得每日距中度定数。倍之,以减周 天,为距子度。

  置其日赤道日度,加距中度,得昏中星。倍距子度,以加昏中星,得晓中星。 命昏中星为甲夜中星,加每更差度,得五夜中星。

  凡九服所在,每气初日中晷常数不齐。使每气去极度数相减,各为其气消息定 数。因测其地二至日晷,测一至可矣,不必兼要冬夏。于其戴日之北每度晷数中, 较取长短同者,以为其地戴日北度数及分。每气各以消息定数加减之,因冬至后者, 每气以减。因夏至后者,每气以加。得每气戴日北度数。各因所直度分之晷数,为 其地每定气初日中晷常数。其测晷有在表南者,亦据其晷尺寸长短与戴日北每度晷 数同者,因取其所直之度,去戴日北度数。反之,为去戴日南度。然后以消息定数 加减之。

  二至各于其地下水漏以定当处昼夜刻数。乃相减,为冬、夏至差刻。半之,以 加、减二至昼夜刻数,为定春、秋分初日昼夜刻数。乃置每气消息定数。以当处差 刻数乘之,如二至去极差度四十七分,八十而一,所得依分前、后加、减初日昼夜 漏刻,各得余定气初日昼夜漏刻。

  置每日消息定衰,亦以差刻乘之,差度而一,所得以息减、消加其气初漏刻, 得次日。其求距中度及昏明中星日出入,皆依阳城法求之。仍以差刻乘之,差度而 一,为今有之数。若置其地春、秋定日中晷常数与阳城每日晷数,较其同者,因其 日夜半漏亦为其地定春、秋分初日夜半漏。求余定气初日,亦以消息定数依分前、 后加、减刻分,春分后以减,秋分后以加。满象积为刻。求次日,亦以消息定衰, 依阳城术求之。此术究理,大体合通。然高山平川,视日不等。较其日晷,长短乃 同。考其水漏,多少殊别。以兹参课,前术为审。

  历四下

  ○六曰步交会术

  终数八亿二千七百二十五万一千三百二十二。

  交终日二十七,余六百四十五,秒千三百二十二。

  中日十三,余千八百四十二,秒五千六百六十一。

  朔差日二,余九百六十七,秒八千六百七十八。

  望差日一,余四百八十三,秒九千三百三十九。

  望数日十四,余二千三百二十六,秒五千。

  交限日十二,余千三百五十八,秒六千三百二十二。

  交率三百四十三。

  交数四千三百六十九。

  交秒法一万。

  以交数去朔积分;不尽,以秒法乘之,盈交数又去之;余如秒法而一,为入交 分。满通法为日,命日算外,得天正经朔时加入交泛日及余。因加朔差,得次朔。 以望数加朔,得望。若以经朔望小余减之,各得夜半所入。累加一日,得次日。加 之满交终,去之。各以其日入气朓朒定数,朓减、朒加入交泛,为入交常日及余。 又以交率乘其日入转朓朒定数,如交数而一,而朓减、朒加入交常,为入交定日及 余。各如中日已下者,为月入阳历;已上者,去之,余为月入阴历。

  ○阴阳历

  以其爻加减率与后爻加减率相减,为前差。又以后爻率与次后爻率相减,为后 差。二差相减,为中差。置所在爻并后爻加减率,半中差以加而半之,十五而一, 为爻末率,因为后爻初率。每以本爻初、末率相减,为爻差。十五而一,为度差。 半之,以加减初率,少象减之,老象加之。为定初率。每以度差累加减之,少象以 差减,老象以差加。各得每岁加减定分。乃循积其分,满百二十为度,各为月去黄 道数及分。其四象初爻无初率,上爻无末率,皆倍本爻加减率,十五而一。所得各 以初、末率减之,皆互得其率。

  各置夜半入转,以夜半入交定日及余减之,不足减,加转终。余为定交初日夜 半入转。乃以定交初日与其日夜半入余,各乘其日转定分,如通法而一,为分。满 转法,为度。各以加其日转积度分,乃相减,所余为其日夜半月行入阴阳度数。转 求次日,以转定分加之。以一象之度九十除之,若以少象除之,则兼除差度一、度 分百六、大分十三、小分十四。讫,然后以次象除之。所得以少阳、老阳、少阴、 老阴为次,起少阳算外,得所入象度数及分。先以三十乘阴阳度分,十九而一,为 度分。不尽,以十五乘、十九除,为大分。不尽者,又乘、又除,为小分。然后以 象度及分除之。乃以一爻之度十五除之,所得入爻度数及分。其月行入少象初爻之 内及老象上爻之中,皆沾黄道。当朔望,则有亏蚀。

  凡入交定如望差已下,交限已上,为入蚀限;望入蚀限,则月蚀。朔入蚀限, 月在阴历,则日蚀。如望差已下,为交后。交限已上,以减交中,余为交前。置交 前、后定日及余,通之,为去交前、后定分。十一乘之,二千六百四十三除,为去 交度数。不尽,以通法乘之,复除为余。大抵去交十三度已上,虽入蚀限,为涉交 数微,光景相接,或不见蚀。望去交分七百七十九已下者,皆既。已上者,以定交 分减望差,余以百八十三约之,命以十五为限,得月蚀之大分。

  月在阴历,初起东南,甚于正南,复于西南;月在阳历,初起东北,甚于正北, 复于西北。其蚀十二分已上者,起于正东,复于正西。此据午正而论之。余各随方 面所在,准此取正。

  凡月蚀之大分五已下,因增三。十已下,因增四。十已上,因增五。其去交定 分五百二十已下,又增半。二百六十已下,又增半。各为泛用刻率。

  以所入气并后气增损差,倍六爻乘之,综两气辰数除之,为气末率。又列二气 增损差,皆倍六爻乘之,各如辰数而一;少减多,余为气差。加减末率冬至后以差 减,夏至后以差加。为初率。倍气差,综两气辰数除,为日差。半之,加减初、末, 为定率。以差累加、减气初定率,冬至后以差加,夏至后以差减。为每日增损差。 乃循积之,随所入气日增损气下差积,各其日定数。其二至之前一气,皆后无同差, 不可相并,各因前末为初率。以气差冬至前减、夏至前加,为末率。

  阴历蚀差千二百七十五,蚀限三千五百二十四,或限三千六百五十九。阳历蚀 限百三十五,或限九百七十四。以蚀朔所入气日下差积,阴历减之,阳历加之,各 为蚀定差及定限。朔在阴历,去交定分满蚀定差已上者,为阴历蚀。不满者,虽在 阴历,皆类同阳历蚀。其去交定分满定限已下者,的蚀。或限已下者,或蚀。

  阴历蚀者,置去交定分,以蚀定差减之,余百四已下者,皆蚀既。已上者,以 百四减之。余以百四十三约之。其入或限者,以百五十二约之。半已下,为半弱。 半已上,为半强。以减十五,余为日蚀之大分。其同阳历蚀者,其去交定分少于蚀 定差六十已下者,皆蚀既。已上者,以阳历蚀定限加去交分,以九十约之。其阳历 蚀者,置去交定分,亦以九十约之。入或限者,以百四十三约之。皆半已下,为半 弱。半已上,为半强。命之,以十五为限,得日蚀之大分。

  月在阴历,初起西北,甚于正北,复于东北。月在阳历,初起西南,甚于正南, 复于东南。其蚀十二分已上,皆起于正西,复于正东。

  凡日蚀之大分,皆因增二。其阴历去交定分多于蚀定差七十已上者,又增;三 十五已下者,又增半。其同阳历去交定分少于蚀定差二十已下者,又增半;四已下 者,又增少。各为泛用刻率。

  置去交定分,以交率乘之,二十乘交数除之;其月道与黄道同名者,以加朔望 定小余:异名者,以减朔、望定小余:为蚀定余。如求发敛加时术入之,得蚀甚辰 刻。各置泛用刻率,副之。以乘其日入转损益率,如通法而一。所得应朒者,依其 损益;应朓者,损加、益减其副:为定用刻数。半之,以减蚀甚辰刻,为亏初;以 加蚀甚辰刻,为复末。其月蚀,置定用刻数,以其日每更差刻除,为更数。不尽, 以每筹差刻除,为筹数。综之为定用更筹。乃累计日入后至蚀甚辰刻,置之,以昏 刻加日入辰刻减之,余以更筹差刻除之。所得命以初更筹算外,得蚀甚更筹。半定 用更筹减之,为亏初;加之,为复末。按天竺俱摩罗所传断日蚀法,日躔郁车宫者, 的蚀。其余据日所在宫,火星在前三及后五之宫,并伏在日下,则不蚀。若五星皆 见,又水在阴历及三星已上同聚一宿,则亦不蚀。凡星与日别宫或别宿则易断,若 同宿则难。天竺所云十二宫,即中国之十二次。郁车宫者,降娄之次也。

  九服之地,蚀差不同。先测其地二至及定春秋分中晷长短,与阳城每日中晷常 数较取同者,各因其日蚀差为其地二至及定春秋分蚀差。以夏至差减春分差,以春 分差减冬至,各为率。并二率,半之,六而一,为夏率。二率相减,六而一,为总 差。置总差,六而一,为气差。半气差,以加夏率,又以总差减之,为冬率。冬率 即冬至率。每以气差加之,各为每气定率。乃循积其率,以减冬至蚀差,各得每气 初日蚀差。求每日,如阳城法求之。若戴日之南,当计所在地,皆反用之。

  ○七曰步五星术

  △岁星

  终率百二十一万二千五百七十九,秒六。

  终日三百九十八,余二千六百五十九,秒六。

  变差三十四,秒十四。

  象算九十一,余二百三十八,秒五十七,微分十二。

  爻算十五,余百六十六,秒四十二,微分八十二。

  △荧惹

  终率二百三十七万一千三,秒八十六。

  终日七百七十九,余二千八百四十三,秒八十六。

  变差三十二,秒二。

  象算九十一,余二百三十八,秒四十三,微分八十四。

  爻算十五,余百六十六,秒四十,微分六十二。

  △镇星

  终率百一十四万九千三百九十九,秒九十八。

  终日三百七十八,余二百七十九,秒九十八。

  变差二十二,秒九十二。

  象算九十一,余二百三十七,秒八十七。

  爻算十五,余百六十六,秒三十一,微分十六。

  △太白

  终率百七十七万五千三十,秒十二。

  终日五百八十三,余二千七百一十一,秒十二。

  中合日二百九十一,余二千八百七十五,秒六。

  变差三十,秒五十三。

  象算九十一,余二百三十八,秒三十四,微分五十四。

  爻算十五,余百六十六,秒三十九,微分九。

  △辰星

  终率三十五万二千二百七十九,秒七十二。

  终日百一十五,余二千六百七十九,秒七十二。

  中合日五十七,余二千八百五十九,秒八十六。

  变差百三十六,秒七十八。

  象算九十一,余二百四十四,秒九十八,微分六十。

  爻算十五,余百六十七,秒四十九,微分七十四。

  辰法七百六十。

  秒法一百。

  微分法九十六。

  置中积分,以冬至小余减之,各以其星终率去之,不尽者,返以减终率;余满 通法为日,得冬至夜半后平合日算。各以其星变差乘积算,满干实去之;余满通法, 为日。以减平合日算,得入历算数。皆四约其余,同于辰法。及以一象之算除之, 以少阳、老阳、少阴、老阴为次,起少阳算外。余以一爻之算除之;所得命起其象 初爻算外,得外入爻算数。

  ○五星爻象历

  以所入爻与后爻损益率相减,为前差;又以后爻与次后爻损益率相减,为后差; 二差相减,为中差。置所入爻并后爻损益率,半中差以加之,九之,二百七十四而 一,为爻末率,因为后爻初率。皆因前爻末率,以为后爻初率。初、末之率相减, 为爻差。倍爻差,九之,二百七十四而一,为算差。半之,加减初、末,各为定率。 以算差累加、减爻初定率,少象以差减,老象以差加。为每算损益率。循累其率, 随所入爻损益其下进退积,各得其算定数。其四象初爻无初率,上爻无末率,皆置 本爻损益率四而九之,二百七十四得一,各以初、末率减之,皆互得其率。

  各置其星平合所入爻之算差,半之,以减其入算损益率。损者,以所入余乘差, 辰法除,并差而半之;益者,半入余,乘差,亦辰法除:皆中所减之率。乃以入余 乘之,辰法而一。所得以损益其算下进退,各为平合所入定数。

  置进退定数,金星则倍置之。各以合下乘数乘之,除数除之。所得满辰法为日, 以进加、退减平合日算,先以四约平合余,然后加减。为常合日算。

  置常合日先后定数,四而一,以先减、后加常合日算,得定合日算。又四约盈 缩分,以定合余乘之,满辰法而一。所得以盈加、缩减其定余,加其日夜半日度, 为定合加时星度。

  又置定合日算,以冬至大小余加之,天正经朔大小余减之。其至朔小余,皆先 以四约之。若大余不足减,又以爻数加之,乃减之。余满四象之策除,为月数。不 尽者,为入朔日算。命月起天正、日起经朔算外,得定合月、日。视定朔与经朔有 进退者,亦进减、退加一日为定。

  置常合及定合应加减定数,同名相从,异名相消;乃以加减其平合入爻算,满 若不足,进退爻算,得定合所入。乃以合后诸变历度累加之,去命如前,得次变初 日所入。如平合求进退定数,乃以乘数乘之,除数除之,各为进退变率。

  五星变行日中率、度中率、差行损益率、历度乘数、除数

  ○岁星

  合后伏:十七日三百三十二分,行三度三百三十二分。先迟,二日益疾九分。 历,一度三百五十七分。乘数三百五十,除数二百八十一。

  前顺:百一十二日,行十八度六百五十六分。先疾,五日益迟六分。历,九度 三百三十七分。乘数三百五十,除数二百八十一。

  前留:二十七日。历,二度二百二十分。乘数二百六十七,除数二百二十一。

  前退:四十三日,退五度三百六十九分。先迟,六日益疾十一分。历,三度四 百七十五分。乘数四百七十,除数四百三。

  后退:四十三日,退五度三百六十九分。先迟,六日益迟十一分。历,三度四 百七十五分。乘数五百一十,除数四百六十七。

  后留:二十七日。历,三度二百一十分。乘数二百七十,除数二百二十二。

  后顺:百一十二日,行十八度六十五分。先迟,五日益疾六分。历,九度三百 三十七分。乘数二百六十七,除数二百二十七。

  合前伏:十七日三百三十二分,行三度三百三十二分。先疾,二日益迟九分。 历,一度三百五十八分。乘数三百五十,除数二百八十一。

  ○荧惑

  合后伏:七十一日七百三十五分,行五十四度七百三十五分。先疾,五日益迟 七分。历,三十八度二百一分。乘数百二十七,除数三十。

  前疾:二百一十四日,行百三十六度。先疾,九日益迟四分。历,百一十三度 五百九十六分。乘数百二十七,除数三十。

  前迟:六十日,行二十五度。先疾,日益迟四分。历,三十一度六百八十五分。 乘数二百三,除数五十四。

  前留:十三日,历,六度六百九十三分。乘数二百三,除数五十四。

  前退:三十一日,退八度四百七十三分。先迟,六日益疾五分。历,十六度三 百六十七分。乘数二百三,除数四十八。

  后退:三十一日,退八度四百七十三分。先疾,六日益迟五分。历,十六度三 百六十七分。乘数二百三,除数四十八。

  后留:十三日。历,六度六百九十三分。乘数二百三,除数四十八。

  后迟:六十日,行二十五度。先迟,日益疾四分。历,三十一度六百八十五分。 乘数二百三,除数五十四。

  后疾:二百一十四日,行百三十六度。先迟,九日益疾四分。历,百一十三度 五百九十六分。乘数二百三,除数五十四。

  合前伏:七十一日七百三十六分,行五十四度七百三十六分。先迟,五日益疾 七分。历,三十八度二百一分。乘数百二十七,除数三十。

  ○镇星

  合后伏:十八日四百一十五分,行一度四百一十五分。先迟,二日益疾九分。 历,四百八十分。乘数十二,除数十一。

  前顺:八十三日,行七度二百四十一分。先疾,六日益迟五分。历,二度六百 二十三分。乘数十二,除数十一。

  前留:三十七日三百八十分。历,一度二百八分。乘数十,除数九。

  前退:五十日,退二度三百三十四分。先迟,七日益疾一分。历,一度五百三 十一分。乘数二十,除数十七。

  后退:五十日,退二度三百三十四分,先疾,七日益迟一分。历,一度五百三 十一分。乘数五,除数四。

  后留:三十七日三百八十分。历,一度二百八分。乘数二十,除数一十七。

  后顺:八十三日,行七度二百四十一分。先迟,六日益疾五分。历,二度六百 二十三分。乘数十,除数九。

  合前伏:十八日四百一十五分,行一度四百一十五分。先疾,二日益迟九分。 历,四百八十分。乘数十二,除数十一。

  ○太白

  晨合后伏:四十一日七百一十九分,行五十二度七百一十九分。先迟,三日益 疾十六分。历,四十一度七百一十九分。乘数七百九十七,除数二百九。

  夕疾行:百七十一日,行二百六度。先疾,五日益迟九分。历,百七十一度乘 数七百九十七,除数二百九。

  夕平行:十二日,行十二度。历,十二度。乘数五百一十五,除数百五十六。

  夕迟行:四十二日,行三十一度,先疾,日益迟十分。历,四十二度。乘数五 百一十五,除数百三十七。

  夕留:八日。历,八度。乘数五百一十五,除数九十二。

  夕退:十日,退五度。先迟,日益疾九分。历,十度。乘数五百一十五,除数 八十六。

  夕合前伏:六日,退五度。先疾,日益迟十五分。历,六度。乘数五百一十五, 除数八十四。

  夕合后伏:六日,退五度。先迟,日益疾十五分。历,六度。乘数五百一十五, 除数八十三。

  晨退:十日,退五度。先疾,日益迟九分。历,十度。乘数五百一十五,除数 八十四。

  晨留:八日,历八度。乘数五百一十五,除数八十六。

  晨迟行:四十二日,行三十一度。先迟,日益疾十分。历,四十二度。乘数五 百一十五,除数九十二。

  晨平行:十二日,行十二度。历,十二度。乘数五百一十五,除数百三十七。

  晨疾行:百七十一日,行二百六度。先迟,五日益疾九分。历,百七十一度。 乘数五百一十五,除数百五十六。

  晨合前伏:四十一日七百一十九分,行五十二度七百一十九分。先疾,三日益 迟十六分。历,四十一度七百一十九分。乘数七百九十七,除数二百九。

  ○辰星

  晨合后伏:十六日七百一十五分,行三十三度七百一十五分。先迟,日益疾二 十二分。历,十六度七百一十五分。乘数二百八十六,除数二百八十七。

  夕疾行:十二日,行十七度。先疾,日益迟五十分。历,十二度。乘数二百八 十六,除数二百八十七。

  夕平行:九日,行九度。历,九度。乘数四百九十五,除数百九十四。

  夕迟行:六日,行四度。先疾,日益迟七十六分。历,六度。乘数四百九十六, 除数百九十五。

  夕留:三日。历,三度。乘数四百九十七,除数百九十六。

  夕合前伏:十一日,退六度。先迟,日益疾三十一分。历,十一度。乘数四百 九十八,除数百九十七。

  夕合后伏:十一日,退六度。先疾,日益迟三十一分。历,十一度。乘数五百, 除数百九十八。

  晨留:三日。历,三度。乘数四百九十八,除数百九十八。

  晨迟行:六日,行四度。先迟,日益疾七十六分。历,六度。乘数四百九十七, 除数百九十六。

  晨平行:九日,行九度。历,九度。乘数四百九十六,除数百九十五。

  晨疾行,十二日,行十七度。先迟,日益疾五十分。历,十二度。乘数四百九 十二,除数百九十四。

  晨合前伏:十六日七百一十五分,行三十三度七百一十五分。先疾,日益迟二 十二分。历,十六度七百一十五分。乘数二百八十六,除数二百八十七。

  各置其本进退变率与后变率。同名者,相消为差。在进前少,在退前多,各以 差为加;在进前多,在退前少,各以差为减。异名者,相从为并。前退后进,各以 并为加;前进后退,各以并为减。逆行度率则反之。皆以差及并,加、减日度中率, 各为日度变率。其水星疾行,直以差、并加、减度中率,为变率。其日直因中率为 变率,勿加、减也。

  以定合日与前疾初日、后疾初日与合前伏初日先后定数,各以同名者相消为差, 异名者相从为并。皆四而一。所得满辰法,各为日度。乃以前日度盈加、缩减其合 后伏度之变率及合前伏、前疾日之变率,亦以后日度盈减、缩加其后疾日之变率及 合前伏、前疾度之变率。金水夕合,反其加减。留退亦然。其二留日之变率,若差 于中率者,即以所差之数为度,各加、减本迟度之变率。谓以所多于中率之数加之, 少于中率之数减之。已下加、减准此。退行度之变率,若差于中率者,即倍所差之 数,各加、减本疾度之变率。其土、木二星,既无迟、疾,即加、减前、后顺行度 之变率。其水星疾行度之变率,若差于中率者,即以所差之数为日,各加、减留日 变率。其留日变率若少不足减者,即侵减迟日变率;若多于中率者,亦以所多之数 为日,以加留日变率。各加、减变率讫,皆为日度定率。其日定率有分者,前后辈 之。辈,配也,以少分配多分,满全为日。有余转配其诸变率。不加减者,皆依变 率为定率。

  置其星定合余,以减辰法;余以其星初日行分乘之,辰法而一,以加定合加时 度,得定合后夜半星度及余。自此各依其星计日行度,所至皆从夜半为始。各以一 日所行度分顺加、退减之。其行有小分者,各满其法从行分。伏不注度,留者因前, 退则依减。顺行出虚,去六虚之差。退行入虚,先加此差。六虚之差,亦四而一, 乃用加减。讫,皆以转法约行分,为度分,得每日所至。日度定率,或加或减,益 疾益迟,每日渐差,不可预定。今且略据日度中率,商量置之。其定率既有盈缩, 即差数合随而增损,当先检括诸变定率与中率相较近者因用其差,求其初、末之日 行分为主。自余诸变,因此消息,加、减其差,各求初、末行分。循环比较,使际 会参合,衰杀相循。其金、水皆以平行为主,前后诸变,准此求之。其合前伏,虽 有日度定率,因加至合而与后算不叶者,皆从后算为定。其初见伏之度,去日不等, 各以日度与星辰相较。木去日十四度,金十一度,火、土、水各十七度皆见。各减 一度,皆伏。其木、火、土三星,前顺之初,后顺之末,及金、水疾行、留、退初、 末,皆是见、伏之初日,注历消息定之。金、水及日、月度,皆不注分。

  置日定率减一,以所差分乘之,为实。以所差日乘定日率,为法。实如法而一, 为行分,得每日差。以辰法通度定率,从其分,如日定率而一,为平行度分。减日 定率一,以所差分乘之,二而一,为差率。以加、减平行分,益疾者,以差率减平 行为初日,加平行为末日;益迟者,以差率加平行为初日,减平行为末日。得初、 末日所行度及分。其差不全而与日相合者,先置日定率减一,以所差分乘之,为实。 倍所差日,为法。实如法而一,为行分。不尽者,因为小分。然后为差率。

  置初日行分,益迟者,以每日差累减之;益疾者,以每日差累加之:得次日所 行度分。其每日差及初日行,皆有小分。母既不同,当令同之,乃用加、减。

  其先定日数而求度者,减所求日一,以每日差乘之,二而一。所得以加、减初 日行分,益迟减之,益疾加之。以所求日乘之,如辰法而一,为度。不尽者,为行 分,得从初日至所求日积度及分。

  若先定度数而返求日者,以辰法乘所求行度。有分者,从之。八之,如每日差 而一,为积。倍初日行分,以每日差加、减之,益迟者加之,益疾者减之。如每日 差而一,为率。令自乘,以积加、减之。益迟者以积减之,益疾者以积加之。开方 除之,所得以率加、减之。益迟者以率加之,益疾者以率减之。乃半之,得所求日 数。开方除者,置所开之数为实。借一算于实之下,名曰下法。步之,超一位。置 商于上方,副商于下法之上,名曰方法。命上商以除实。毕,倍方法一折,下法再 折。乃置后商于下法之上,名曰隅法。副隅并方。命后商以除实。毕,隅从方法折 下,就除如前开之。

  五星前变,入阳爻,为黄道北;入阴爻,为黄道南。后变,入阳爻,为黄道南; 入阴爻,为黄道北。其金、水二星,以夕为前变,晨为后变。各计其变行,起初日 入爻之算,尽老象上爻未算之数。不满变行度常率者,因置其数以变行日定率乘之, 如变行度常率而一,为日。其入变日数与此日数已下者,星在道南北依本所入阴阳 爻为定。过此日数之外者,南北返之。

  《九执历》者,出于西域。开元六年,诏太史监瞿坛悉达译之。断取近距,以 开元二年二月朔为历首。度法六十。月有二十九日,余七百三分日之三百七十三。 历首有朔虚分百二十六。周天三百六十度,无余分。日去没分九百分度之十三。二 月为时,六时为岁。三十度为相,十二相而周天。望前曰白博义;望后曰黑博义。 其算皆以字书,不用筹策。其术繁碎,或幸而中,不可以为法。名数诡异,初莫之 辩也。陈玄景等持以惑当时,谓一行写其术未尽,妄矣。



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